Модель Монте-Карло

Часто одним-единственным адекватным инструментом при оценивании сложных опционов выступает метод Монте-Карло. Причины этого кроются в усложнении стохастических моделей и самих инструментов. Моделирование при помощи рассматриваемого метода может быть как дискретным, так и точным. В первом случае используется численное интегрирование стохастического дифференциального уравнения (например, методом Эйлера). Во втором же случае решение стохастического уравнения считается известным. Здесь переходная плотность распределения определена, присутствует возможность генерации случайной переменной из точного распределения, имеющего произвольный шаг по времени. Преимущества точного способа заключаются в том, что он быстрее осуществляется и не имеет ошибок дискретизации. К тому же, зачастую аналитическое решение стохастического дифференциального уравнения неизвестно. Гораздо больше стохастических процессов с известной характеристической функцией.

Предполагается, что характеристическая функция стохастического процесса задана

Численно обращая характеристическую функцию, получаем плотность распределения и функцию распределения



Для генерации случайной переменной из используем метод обратного преобразования:
генерируем равномерную случайную переменную , а затем находим для которого
.
В результате получаем случайную переменную из распределения .
Для численного обращения функции распределения используется метод Ньютона-Рафсона.